Oprasi Biner Matematika Informatika

SOAL

1.      Tentukan apakah himpunan bilangan real

     a  *  b = a + b - 2ab

berupa group, monoid , atau Semigroup.

2.      Misalkan G = { -1, 1}

Tunjukan bahwa G adalah group abel dibawah perkalian biasa a  +  b = a * b

3.      Diketahui himpunan R = bilangan real tanpa -1

 a  +  b = ab + a + b

 tentukan sifat operasi binernya

JAWABAN

1.      a  *  b = a + b - 2ab

Asosiatif

(a  *  b)  *  c  =  a  *  (b  *  c)

(a  *  b)  *  c  = (a + b – 2ab) *  c                   

= n  *  c                                                          

= n + c - 2nc                                                            

= (a + b – 2ab) + c – 2(a + b – 2ab)c              

= a + b + c – 2ab – 2ac – 2bc + 4abc             

(a  *  b)  *  c  = a  * (b + c – 2 bc)

= a  *  n

= a + n – 2an  

= a + (b + c - 2bc) – 2a(b + c – 2bc)

= a + b + c – 2bc – 2ab – 2ac + 4abc

Identitas

a  *  e = e  *  a = a

a  *  e = a

a  *  b = a + b – 2ae

a  *  e = a + e – 2ae

a =  a + e – 2ae

e = -2ae

e  *  a     e + a – 2ae = a + e – 2ae

– 4ae + a =  a – 4ae

Invers

a^-1        a^-1  *  a = e

a  *  b = a + b – 2ae                    Misalkan : a^-1 = b

b = - a + 2ae

a  *  b = a + b               = -2ae

          = a + (-a + 2ae) = -2ae

          2ae  -2ae

Komutatif (abel)

        a  *  b = b  *  a

  a + b – 2ab = b + a – 2ba

Maka persamaan a  *  b =  a  +  b  -  2ab disebut semigroup abel

2.      a + b = a * b

dengan G {-1.1}

Tertutup

a  +  b = a * b

          = -1 * 1                                                                                      

          = -1

Asosiatif

(a  +  b)  +  c  =  a  +  (b  +  c)

(a  +  b)  +  c  = (a * b) +  c                 (a  +  b)  +  c  = a  + (b * c)         

= n  +  c                                               = a  +  n

= (a * b) * c                                         = a * (b * c)                                        

Identitas

a  +  e = e  +  a = a

a  +  e = a

a  +  b = a * b                               e  +  a                     e * a = a * e

a  +  e = a * e                                                               0 = 0

                        a = a * e                                                                       e = 0

Invers

a -1        a -1  +  a = e

a  +  b = a * b                   Misalkan : a^-1 = b

                        b = ¹/_a

a  +  b = a * b        = 0

                                    = a * (¹/_a)    =  0

1      = 0

Komutatif (abel)

a  +  b = b  +  a

                        a * b  = b * a

maka fungsi a  +  b = a * b dengan G { -1, 1} bukan merupakan Group melainkan semigroup abel

3.      Dengan R  = bilangan Real

Tertutup

a  +  b = ab + a + b                        a  +  b = (2*1) + 1 + 2

a = 1                                             = 5

b = 2

Asosiatif

(a  +  b)  +  c  =  a  +  (b  +  c)

(a  +  b)  +  c  = (ab + a + b) +  c                     

   = n  +  c                             

   = nc + n + c                                     

   = (ab + a + b)c + (ab + a + b) + c

   = abc + ac + bc + ab + a + b + c

(a  +  b)  +  c  = a  + (bc + b + c)

= a  +  n                          

= an + a + n                                             

= a(bc + b + c) + a + (bc + b + c)

 = abc + ac + bc + ab + a + b + c

Identitas

a  +  e = e  +  a = a

a  +  e = a

a  +  b = ab + a + b                                  e  +  a      ae + a + e = ae + a + e

a  +  e = ae + a + e                                                   a2e + a + e = a2e + a + e 

       a = ae + a + e

       e = ae

Invers

a ^-1        a ^-1  +  a = e

a  +  b = ab + a + b                      Misalkan : a^-1 = b

ab + b = -a

Komutatif (abel)

a  +  b = b  +  a

ab + a + b = ba + b + a

maka fungsi a  +  b = ab + a + b dengan P bilangan real merupakan semigroup abel